根据《人民检察院刑事诉讼规则》第五百一十二条和第五百二十八条的规定，检察院可以向法院提出没收违法所得申请的情形包括：
在贪污贿赂犯罪、恐怖活动犯罪等重大犯罪案件中，犯罪嫌疑人、被告人逃匿，并且在通缉一年后仍未到案。根据刑法规定，检察院可以申请追缴其违法所得及其他涉案财产。
根据刑法规定，对于犯罪嫌疑人、被告人死亡的情况，检察院可以申请追缴其违法所得及其他涉案财产。
在人民检察院审查起诉过程中，犯罪嫌疑人逃匿，在通缉一年后仍未到案，或者贪污贿赂犯罪、恐怖活动犯罪等重大犯罪案件的犯罪嫌疑人逃匿，在通缉一年后仍未到案。根据刑法规定，检察院可以申请追缴其违法所得及其他涉案财产。
在人民法院审理案件过程中，被告人死亡而裁定终止审理，或者被告人脱逃而裁定中止审理。检察院可以依法另行向人民法院提出没收违法所得的申请。
根据规定，申请没收违法所得的提出应由犯罪地或犯罪嫌疑人、被告人居住地的市一级检察院向对应的中级法院提出。如果被告人在审理过程中死亡，原审理法院也可以受理申请。
法院对没收违法所得的申请应在7日内进行审查，决定是否受理。一旦决定受理，法院应在十五日内发出公告，公告期为六个月。公告范围包括全国公开发行的报纸、法院的官方网站以及法院公告栏。如果法院已经掌握犯罪嫌疑人、被告人近亲属和其他利害关系人的联系方式，应直接告知并记录在案。
犯罪嫌疑人、被告人近亲属、其他利害关系人应在公告期内申请参加诉讼，可以委托代理人。其他利害关系人指的是对申请没收的财产主张所有权的人。
公告期满后，法院应组成合议庭进行审理。根据情况不同，法院会作出没收或驳回申请的裁定。
在审理没收违法所得过程中，如果犯罪嫌疑人或被告人归案，应当终止审理。
对于没收财产的裁定不服的犯罪嫌疑人、被告人近亲属或其他利害关系人可以在收到裁定书之日起五日内提起上诉。检察院对驳回申请的裁定不服的，也可以在五日内提出抗诉。如果没收违法所得的裁定已经生效，犯罪嫌疑人或被告人到案并提出异议，法院应根据情况作出相应处理。
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