根据法律规定，孩子的抚养权归属可以通过协商或法院判决确定。即使父母离婚，父母与子女之间的关系并不会因此消失。因此，母亲在孩子出生时放弃抚养权是合理的行为。当然，已经确定的抚养权也可以进行变更。
双方的收入情况是争夺孩子抚养权时的一个有利条件。如果一方的收入更好，能够给孩子提供更好的生活环境，那么在争夺抚养权时就具备了有利条件。
家庭的组成对孩子的成长非常重要，因此孩子的爷爷奶奶姥姥姥爷的参与也是一个有利条件，也是影响孩子抚养权的一个重要因素。
双方的文化程度对孩子也有重要影响，因此也是一个有利条件。
孩子被判给某一方意味着孩子将与该方一起生活，这就涉及到孩子的住宿条件。因此，哪一方的住宿条件更好也是一个重要的因素。
双方的身体状况是否健康也是一个重要因素，可以通过体检报告等相关证据来证明。
双方是否有再婚对象，并且是否生育，也是一个重要的影响因素。
孩子的意见是最重要的一点。如果孩子年满10周岁，法院会根据孩子的意见作为重要依据，由孩子自主选择。如果孩子在哺乳期，女方在无重大疾病的前提下，孩子一般会被判给女方。对于孩子年龄在2岁以上、十岁以下的情况，法院会综合考虑以下三个因素：
a. 女方是否具备生育能力，即是否做过绝育手术或因其他原因丧失生育能力；
b. 子女是否长期与一方生活，突然改变生活环境对孩子的成长是否不利；
c. 双方是否再婚，婚后是否有其他子女。
总之，孩子出生就离婚母亲放弃抚养权只要双方达成一致意见就是受到法律保护的合理行为。需要注意的是，如果双方无法达成一致意见，就需要通过起诉来处理抚养权问题。另外，在离婚协议书中明确表明双方对抚养权的协商结果也是必要的。
不受法律保护的婚姻所生子女的抚养问题，法院会根据子女的利益最大化原则确定抚养权归属。在夫妻离婚时，子女抚养权的归属需综合考虑多种因素，包括双方的抚养条件、孩子的意愿等。协议离婚时孩子的抚养权归属也要根据具体情况判断。
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离婚时3岁以下孩子的抚养权判决问题。对于未满两岁的孩子，通常母亲是主要的抚养者，但具体情况还需考虑父母双方的能力、家庭环境等因素。如果父母无法达成协议，法院将按照最有利于孩子的原则做出决定。此外，如果女方再婚并希望追回抚养权，可以通过协商或诉讼解决，
抚养义务是否能因放弃抚养权而免除的问题。抚养责任并不因放弃抚养权而减轻或豁免，父母有责任为子女提供生活和教育的保障。监护权和抚养权在法律上有关联，但概念不同。离婚后，子女抚养权可以变更，一方或双方经济或抚养能力发生重大变化时，可协商或起诉变更。
