根据我国相关司法解释的规定，父母双方协议变更子女抚养关系的情况下，可以变更孩子的抚养权。因此，在协议离婚后，双方可以协商变更抚养权。
根据《关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》，以下规定适用：
离婚后，一方要求变更子女抚养关系，或者子女要求增加抚育费的，应另行起诉。
一方要求变更子女抚养关系的情形包括：
(1) 一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的，与子女共同生活的;
(2) 与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的;
(3) 十周岁以上未成年子女愿随另一方生活，且该方有抚养能力的;
(4) 存在其他正当理由需要变更的。
父母双方协议变更子女抚养关系的，应予准许。
无论采取哪种方式变更孩子抚养权，都需要法院的认可：
(1) 双方协议变更：父母双方可以私下协商变更子女抚养权，只要有利于子女身心健康和保障子女合法权益，然后请求法院予以变更。
(2) 一方起诉变更：如果协商不成，一方可以通过起诉方式要求变更。
(1) 变更子女抚养关系的起诉：离婚后，一方要求变更子女抚养关系，或者子女长到有识别能力时主动提出与另一方一起生活时，应另行起诉。因为该请求不涉及原离婚案件，不是对原离婚案件子女抚养问题的判决、调解协议的纠正，而是出现了处理原离婚案件当时不存在的子女抚养方面的新情况，所以，应当作新的案件另行起诉。
(2) 支持变更抚养关系的法定事由：具体的法定事由即上述的四点情形，一方要求变更子女抚养关系有上述情形之一的，人民法院应予支持。
(3) 准许协议变更抚养关系：无论是协议离婚还是判决离婚后，要求变更子女抚养关系的，并非一定要向法院起诉。双方当事人达成了变更子女抚养关系的协议，只要没有违法事项和对子女成长不利的问题，应予准许。
协议离婚的法律优势和缺点。协议离婚具有时间短、费用低、压力小的优势，但存在法律风险、适用范围有限以及缺乏强制执行力的缺点。协议离婚适用于达成一致意见且无分歧的夫妻，但需注意离婚协议书可能存在的法律风险，且不具备强制执行力。
口头协议的法律效力问题。口头协议在法律上是有效的合同形式之一，但需要有其他证据来佐证其内容。只要口头协议满足一定条件，如内容合法、协议订立手段正当、双方非恶意串通等，就具有法律效力并受法律保护。
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