依据我国相关法律的规定，教唆犯构成犯罪的，在符合一定条件的情况下，公安机关可以先行对教唆犯进行刑事拘留，如企图自杀、逃跑或者在逃等。
《中华人民共和国刑事诉讼法》
第八十二条 公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
(一)正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的;
(二)被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的;
(三)在身边或者住处发现有犯罪证据的;
(四)犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的;
(五)有毁灭、伪造证据或者串供可能的;
(六)不讲真实姓名、住址，身份不明的;
(七)有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。
《中华人民共和国刑法》
第二十九条 【教唆犯】教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。教唆不满十八周岁的人犯罪的，应当从重处罚。
如果被教唆的人没有犯被教唆的罪，对于教唆犯，可以从轻或者减轻处罚。
1、教唆对象。按照刑法理论界的主流观点，教唆对象必须是达到刑事法定年龄、具有刑事责任能力的人。否则不成立教唆犯，而成立间接正犯。
2、教唆行为。教唆行为必须引起他人实施符合构成要件的违法行为的意思，进而使之实行犯罪。
3、教唆故意(包括直接故意与间接故意)。教唆者故意教唆他人实施不可能既遂的行为，是未遂的教唆，不可罚。
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投毒送医院是否构成犯罪中止的问题。根据相关法律知识和规定，犯罪中止需满足自动放弃犯罪和自动有效地防止犯罪结果发生的条件。投毒送医院的行为不符合这些条件，因此不构成犯罪中止，而是构成故意杀人罪，应依法追究。
我国刑法规定的刑事犯罪行为状态，包括犯罪未遂、犯罪中止和犯罪既遂等。犯罪未遂指因外部原因未能达到预期结果，犯罪中止则是自动放弃或有效防止犯罪结果发生。对于犯罪中止，法律规定免除或减轻处罚；对于犯罪未遂，可参照既遂犯从轻或减轻处罚。
