判处死刑立即执行死刑的检察机关的监督义务

依据相关法律规定，检察机关在判处死刑立即执行的情况下，有监督执行死刑的责任。

根据《人民检察院刑事诉讼规则》第六百四十七条的规定，被判处死刑立即执行的罪犯在执行死刑时，人民检察院应当派遣检察官进行临场监督。具体而言，人民检察院负责刑事执行检察的部门将承担死刑执行临场监督的职责。此外，人民检察院在派驻看守所和监狱的检察人员，以及负责捕诉的部门也应当提供协助和相关情况。

在执行死刑过程中，人民检察院的临场监督人员可以根据需要进行拍照和录像。执行死刑后，临场监督人员还需要检查罪犯是否确实已经死亡，并填写死刑执行临场监督笔录，并在签名后将其归档。

死刑立即执行中止的情形

执行死刑命令应当由最高人民法院或者高级人民法院院长签发，并由高级人民法院交付给原审人民法院进行执行。原审人民法院在接到执行死刑命令后，应当在7日内将其交付执行。然而，在执行死刑之前，如果原审人民法院发现以下情形之一，应当停止执行死刑，并立即向最高人民法院报告，由最高人民法院作出裁定：

1. 在执行前发现判决可能存在错误的情况。
2. 在执行前，罪犯揭发了重大犯罪事实或者有其他重大立功表现，可能需要改判的情况。
3. 罪犯正在怀孕的情况。

最高人民法院或者高级人民法院在接到停止执行死刑的报告后，应当认真进行审查核实。经过审查后，根据不同情况可以采取以下处理办法：

1. 进行改判。如果人民法院认为判决确实存在错误，或者罪犯确实揭发了重大犯罪事实，或者有重大立功表现的情况，应当按照死刑复核程序进行改判。对于正在怀孕的犯罪分子也应当进行改判。这样，原来的死刑判决就不再执行。
2. 恢复死刑的执行。如果人民法院确认原判决没有错误，或者确认罪犯揭发的犯罪事实等情况不属实，或者虽然罪犯有揭发犯罪事实等立功表现，但不需要改判的情况，仍然应当执行死刑。对于这种情况，必须由原核准死刑的人民法院院长再次签发执行死刑的命令，才能恢复死刑的执行。