根据《刑事诉讼法》第二百八十八条的规定，下列公诉案件中，如果犯罪嫌疑人或被告人真诚悔罪，并通过向被害人赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解，同时被害人自愿和解，那么双方当事人是可以私下和解的：
这些案件涉及到刑法分则第四章和第五章规定的犯罪行为，并且可能被判处三年有期徒刑以下的刑罚。
除了渎职犯罪以外，其他过失犯罪案件也适用私下和解的规定，但是这些案件可能被判处七年有期徒刑以下的刑罚。
需要注意的是，如果犯罪嫌疑人或被告人在五年内曾经故意犯罪，那么他们就不适用本章规定的和解程序。
自诉刑事案件和解原则，包括是非分明、自愿守信、公平合理和规范合法四个原则。在刑事和解中，必须确保案件事实清楚、证据充分，尊重双方当事人的意愿，保护被害人合法权益并体现加害人的轻罚或非刑罚化方式处理的平等性，同时遵循法律程序规范进行。
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刑事案件的和解程序及适用条件，明确了犯罪性质、公私案件和恶意行为的限制范围。和解程序需经公安机关、人民检察院和人民法院审查，确保真实性和自愿性。达成和解协议后，可从宽处罚，但不放纵犯罪行为。这一制度的实施有助于平衡公共利益与个人权益关系，推动社会和谐
人民检察院对刑事和解的审查内容，包括双方自愿和解情况、犯罪嫌疑人真诚悔罪及赔偿情况、被害人谅解情况、是否符合法律规定及社会公德等方面。同时，文章还介绍了自诉案件与公诉案件的区别，自诉案件代理人享有更多诉讼权利，包括申请回避、和解撤诉和上诉等。
