司机在下班时，利用职务之便，私自开公司车办私事，并发生了交通事故。这导致了两个层面的法律关系。
根据司机在接受公司应聘时是否与公司签订了相关的安全行车条款，公司可以根据约定对驾驶员采取行政和经济处罚措施。司机私自开公司车办私事并造成交通事故是严重违法违规行为，公司可以依据制度和约定对其进行相应处罚。
交警在事故现场勘查后，会根据事故责任认定结果对司机进行相应责任的追究。由于车辆是公司所有，公司负有连带责任。如果公司的车辆既有交强险又有商业险，那么保险公司只能在一定范围内进行赔偿，超出范围的赔款将由公司垫付，并有权向驾驶员追偿。
公司在这起交通事故中也是受害者，只能承担管理不力的责任。如果公司的驾驶员因车祸受伤，除了保险赔偿外，只能按照病假来处理。
根据最高人民法院《关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》：
法人或者其他组织的法定代表人、负责人以及工作人员，在执行职务中致人损害的，依照民法通则第一百二十一条的规定，由该法人或者其他组织承担民事责任。对于与职务无关的行为致人损害的，应当由行为人承担赔偿责任。
雇员在从事雇佣活动中致人损害的，雇主应当承担赔偿责任；雇员因故意或者重大过失致人损害的，应当与雇主承担连带赔偿责任。雇主承担连带赔偿责任的，可以向雇员追偿。
所谓“从事雇佣活动”，是指从事雇主授权或指示范围内的生产经营活动或其他劳务活动。如果雇员的行为超出授权范围，但其表现形式是履行职务或与履行职务有内在联系的，应当视为“从事雇佣活动”。
无证驾驶撞人重伤逃逸行为是否构成交通肇事罪。文章指出，交通肇事罪是一种结果犯罪，必须造成法律规定的危害结果才能构成犯罪。如果行为造成致人重伤、死亡或公私财产重大损失之一或多种，则构成交通肇事罪。对于无证驾驶撞人重伤逃逸行为，量刑标准根据犯罪程度确定。
单方爆胎事故是否构成交通肇事罪的问题。根据《中华人民共和国刑法》相关规定，如果因违反交通运输管理法规而导致重大事故，造成他人重伤或死亡，将构成交通肇事罪。在单方爆胎事故中，由于责任全部由爆胎方承担，因此如果事故导致他人死亡，将依法追究刑事责任。
逃逸后交警电话传唤的时间限制和相关法律规定。据《道路交通事故处理程序规定》，交警对交通肇事嫌疑人可以依法传唤，不受时效限制。交通警察有权核查当事人的相关证件，并可以要求嫌疑人到案接受调查。同时，对于交通肇事逃逸行为的认定和责任的界定也进行了详细说明，
交通肇事无人员伤亡逃逸的法律认定。法律规定逃逸行为会受到行政处罚，包括罚款和吊销驾照等。对于交通肇事后逃逸的认定，需满足“为逃避法律追究”的前提条件，且逃逸行为没有时间和地点限制。即使行为人履行了抢救义务，逃避责任查清认定的行为仍构成交通肇事逃逸。
