根据《中华人民共和国民事诉讼法》第209条规定，当事人在以下情况下可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：
(一)人民法院驳回再审申请;
(二)人民法院逾期未对再审申请作出裁定;
(三)再审判决、裁定存在明显错误。
人民检察院应当在三个月内对当事人的申请进行审查，并作出提出或者不予提出检察建议或者抗诉的决定。当事人不得再次向人民检察院申请检察建议或者抗诉。
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第210条规定，人民检察院因履行法律监督职责需要提出检察建议或者抗诉时，可以向当事人或者案外人调查核实相关情况。
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第211条规定，人民检察院提出抗诉的案件，接受抗诉的人民法院应当在收到抗诉书之日起30日内作出再审的裁定。如果符合法律规定的情况，可以将案件交由下一级人民法院再审，但已经经过下一级人民法院再审的案件除外。
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第212条规定，人民检察院决定对人民法院的判决、裁定、调解书提出抗诉时，应当制作抗诉书。
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第213条规定，人民检察院提出抗诉的案件在人民法院再审时，人民法院应当通知人民检察院派员出席法庭。
不同时机下原告申请撤诉而被告不同意的处理方式。在法庭辩论终结前，法院一般会准许撤诉；而在法庭辩论终结后、法院宣判之前，如果被告不同意，法院有权不予准许撤诉。具体是否准许需根据案件情况和相关法律依据进行裁定。
再审申请中证据的相关问题。包括新证据的定义、提供的时限、不采纳非新证据的处理、逾期提供证据的处理、再审申请中的新证据以及逾期提供证据理由成立的情形。强调了新证据的重要性和规定，以及不同情况下证据的处理方式和后果。
第一审案件的审理公开性问题，根据不同案件的性质和情况，以及是否涉及国家秘密、个人隐私等因素，法院会决定采用公开审理或不公开审理的方式。在刑事诉讼、民事诉讼和行政诉讼中，审理公开性都有相应的法律规定和特殊情况处理。
延期开庭审理的裁定问题。根据法律规定，若案件一方申请延期审理且符合法定情形，法院会进行裁定。延期审理的情形包括通知新证人到庭、调取新物证重新鉴定、检察人员发现需补充侦查及申请回避等情况。
