根据我国相关法律的规定，信访人对信访事项处理意见不服的情况下，可以采取以下法律途径进行申请复核。
根据《信访条例》第三十四条的规定，信访人可以自收到书面答复之日起30日内请求原办理行政机关的上一级行政机关复查。收到复查请求的行政机关应当自收到复查请求之日起30日内提出复查意见，并以书面形式答复信访人。
根据《信访条例》第三十五条的规定，信访人对复查意见不服的，可以自收到书面答复之日起30日内向复查机关的上一级行政机关请求复核。收到复核请求的行政机关应当自收到复核请求之日起30日内提出复核意见。
值得注意的是，复核机关可以根据《信访条例》第三十一条第二款的规定，举行听证，并将经听证的复核意见依法向社会公示。需要强调的是，听证所需时间不计算在前款规定的期限内。
根据《信访条例》的规定，如果信访人对复核意见仍然不服，以同一事实和理由提出投诉请求的，各级人民政府信访工作机构和其他行政机关将不再受理。
为了确保信访事项能够得到妥善处理，信访部门采取了以下措施来进行督办：
行政机关及其工作人员在办理信访事项时，应当恪尽职守、秉公办事，查明事实、分清责任，宣传法制、教育疏导，及时妥善处理，不得推诿、敷衍、拖延。
行政机关应当认真研究论证并积极采纳信访人反映的情况、提出的建议和意见，特别是那些有利于行政机关改进工作、促进国民经济和社会发展的。
行政机关工作人员与信访事项或者信访人有直接利害关系的情况下，应当回避，以确保处理过程的公正性。
对于有权处理的行政机关办理信访事项时，应当听取信访人陈述事实和理由，并可以要求信访人、有关组织和人员说明情况。如果需要进一步核实相关情况，可以向其他组织和人员进行调查。
对于重大、复杂、疑难的信访事项，可以举行听证。听证应当公开举行，通过质询、辩论、评议、合议等方式，查明事实，分清责任。听证的范围、主持人、参加人、程序等由省、自治区、直辖市人民政府进行规定。
对于有权处理的行政机关经调查核实后，应当根据相关法律、法规、规章和其他规定，分别作出以下处理，并以书面形式答复信访人：
如果有权处理的行政机关根据前述规定作出支持信访请求意见的，应当督促有关机关或单位执行。
信访事项应当自受理之日起60日内办结。情况复杂的情况下，可以经过本行政机关负责人批准，适当延长办理期限，但延长期限不得超过30日，并且需要告知信访人延期的理由。如果法律、行政法规另有规定，以其规定为准。
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