根据《劳动合同法》第四十条规定，用人单位可以解除劳动合同的情形包括：
1. 劳动者患病或因非工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；
2. 劳动者经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任工作；
3. 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商未能达成变更劳动合同内容的协议。
根据上述规定，用人单位单方解除劳动合同必须同时满足两个条件：提前三十日以书面形式通知或额外支付劳动者一个月工资，并具备上述三种情形之一。
在本案中，虽然公司已额外支付了一个月工资给关某，但这并不能证明关某不能胜任工作，更没有经过培训或调整岗位后仍不能胜任工作。即使公司的经营状况发生了重大变化，也必须在与关某协商的前提下进行，而公司并未如此。
根据《劳动合同法》第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应当按照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
根据该法第四十七条第一款规定，经济补偿金的支付标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。不满一年但超过六个月的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
由于公司违法解除劳动合同，根据关某的原有工资标准和工作时间，公司应向关某支付双倍赔偿金，即支付关某四个月的工资作为经济补偿。
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